Cho hình thang vuông $ ABCD $ với đường cao $ AB=2a, $ các cạnh đáy $ AD=a $ và $ BC=3a. $ Gọi $ M $ là điểm trên đoạn $ AC $ sao cho $ \overset\rightarrow { AM }=k.\overset\rightarrow { AC }. $ Tìm $ k $ để $ BM $ và $ CD $ vuông góc.

Hạ $ DH⊥BC $ dễ thấy $ ABHD $ là hình chữ nhật và $ BH=a. $ Từ giả thiết $ \overset\rightarrow { AM }=k.\overset\rightarrow { AC }⇔\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BM } } \right )=k.\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BC } } \right ) ⇔\overset\rightarrow { BM }=\left ( { k-1 } \right ).\overset\rightarrow { AB }+k.\overset\rightarrow { BC }. $ Mặt khác: $ \overset\rightarrow { DC }=\overset\rightarrow { DH }+\overset\rightarrow { HC }. $ Vì $ ABHD $ là hình chữ nhật nên $ \overset\rightarrow { DH }=\overset\rightarrow { AB } $ và $ \overset\rightarrow { HC }=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { BC } $ nên $ \overset\rightarrow { DC }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { BC }. $ $ BM⊥CD⇔\overset\rightarrow { BM }.\overset\rightarrow { DC }=0\ \ \left ( { * } \right ). $ Do giả thiết ta có $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { BC }=0 $ nên $ \left ( { * } \right )⇔\left ( { \left ( { k-1 } \right ).\overset\rightarrow { AB }+k.\overset\rightarrow { BC } } \right ).\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { BC } } \right )=0 $ $ ⇔\left ( { k-1 } \right ).AB ^ { 2 } +\frac { 2 } { 3 }.k.BC ^ { 2 } =0⇔4\left ( { k-1 } \right ).a ^ { 2 } +\frac { 2k } { 3 }.9a ^ { 2 } =0 $$ ⇔4k-4+6k=0⇔k=\frac { 2 } { 5 }. $