Cho tam giác $ ABC $ có có $ AC=4\sqrt[] { 2 },AB=6, \widehat { BAC }=45 ^ { ° } $. Gọi $ D $ là trung điểm của đoạn thẳng$ BC $. Điểm $ E $ thoả mãn $ \overset\rightarrow { AE }=k\overset\rightarrow { AB }(k∈\mathbb{R}) $ (Hình vẽ). Khi đó:

a) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { AC }=AB⋅AC⋅cosA=6.4\sqrt[] { 2 }⋅\cos45 ^ { ° } =24{ \rm{ . } } $ b) Đúng. $ { \rm{ Ta có: } }\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC }=2\overset\rightarrow { AD }⇒\overset\rightarrow { AD }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } $. c) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB }. $ Mà $ \overset\rightarrow { BC } ^ { 2 } =(\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB }) ^ { 2 } =\overset\rightarrow { AC } ^ { 2 } -2\overset\rightarrow { AC }⋅\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } =(4\sqrt[] { 2 }) ^ { 2 } -2⋅24+6 ^ { 2 } =20⇒BC=2\sqrt[] { 5 } $. d) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { CE }=\overset\rightarrow { AE }-\overset\rightarrow { AC }=k\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AC } $. Từ đó, ta có: $ \overset\rightarrow { AD }⋅\overset\rightarrow { CE }=\frac { 1 } { 2 }(\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC })⋅(k\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AC }) $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { k\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } +k\overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AC } ^ { 2 } } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left[ 6 ^ { 2 } ⋅k+24k-24-(4\sqrt[] { 2 }) ^ { 2 } \right]=30k-28. $ Khi đó: $ AD⊥CE⇔\overset\rightarrow { AD }⋅\overset\rightarrow { CE }=0⇔30k-28=0⇔k=\frac { 14 } { 15 } $.