Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A;M $ là trung điểm của $ BC,H $ là hình chiếu của $ M $ trên $ AC;E $ là một điểm trên đoạn $ MH $. Tính giá trị $ k=\frac { ME } { EH } $ để $ AE⊥BH $.

Ta có biến đổi tích vô hướng như sau: Gọi $ H' $là điểm trên ME sao cho $ \overset\rightarrow { MH' }=2\overset\rightarrow { ME } $ $ 2\overset\rightarrow { AE }.\overset\rightarrow { BH' }=(\overset\rightarrow { AM }+\overset\rightarrow { AH' }).(\overset\rightarrow { BM }+\overset\rightarrow { MH' }) \\ =\overset\rightarrow { AM }.\overset\rightarrow { BM }+\overset\rightarrow { AM }.\overset\rightarrow { MH' }+\overset\rightarrow { AH' }.\overset\rightarrow { BM }+\overset\rightarrow { AH' }.\overset\rightarrow { MH' } \\ =\overset\rightarrow { AM }.\overset\rightarrow { MH' }+(\overset\rightarrow { AM }+\overset\rightarrow { MH' }).\overset\rightarrow { BM }+\overset\rightarrow { AH' }.\overset\rightarrow { MH' } \\ =\overset\rightarrow { AM }.\overset\rightarrow { MH' }+\overset\rightarrow { MH' }.\overset\rightarrow { BM }+\overset\rightarrow { AH' }.\overset\rightarrow { MH' } \\ =\overset\rightarrow { AM }.\overset\rightarrow { MH' }+\overset\rightarrow { MH' }.\overset\rightarrow { MC }+\overset\rightarrow { AH' }.\overset\rightarrow { MH' } \\ =\overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { MH' }+\overset\rightarrow { AH' }.\overset\rightarrow { MH' } \\ =\overset\rightarrow { AH' }.\overset\rightarrow { MH' }=0 $ Nên $ H'≡H $hay $ E $là trung điểm $ MH $. Vậy $ k=\frac { ME } { EH }=1 $