Cho tứ giác $ ABCD $ có $ AB=BC=2\sqrt[] { 5 },\,\,CD=BD=5\sqrt[] { 2 },\,AD=3\sqrt[] { 10 },\,\,AC=10 $. Tìm côsin góc giữa hai vectơ $ \overset\rightarrow { AC } $ và $ \overset\rightarrow { DB } $

Chọn A Với điểm $ O $ bất kỳ ta có: $ 2\overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { DB }=2\left ( { \overset\rightarrow { OC }-\overset\rightarrow { OA } } \right )\left ( { \overset\rightarrow { OB }-\overset\rightarrow { OD } } \right )=2\overset\rightarrow { OC }.\overset\rightarrow { OB }+2\overset\rightarrow { OA }.\overset\rightarrow { OD }-2\overset\rightarrow { OC }.\overset\rightarrow { OD }-2\overset\rightarrow { OA }.\overset\rightarrow { OB } $ Mặt khác $ 2\overset\rightarrow { OC }.\overset\rightarrow { OB }=\overset\rightarrow { OC } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { OB } ^ { 2 } -\left ( { \overset\rightarrow { OC }-\overset\rightarrow { OB } } \right ) ^ { 2 } =\overset\rightarrow { OC } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { OB } ^ { 2 } -\overset\rightarrow { BC } ^ { 2 } $ Xây dựng các đẳng thức tương tự thay vào ta tính được $ 2\overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { DB }=AB ^ { 2 } +CD ^ { 2 } -BC ^ { 2 } -AD ^ { 2 } $ Suy ra $ \cos\left ( { \overset\rightarrow { AC },\overset\rightarrow { DB } } \right )=\frac { AB ^ { 2 } +CD ^ { 2 } -BC ^ { 2 } -AD ^ { 2 } } { 2.AC.BD }=\frac { 20+50-20-90 } { 2.10.5\sqrt[] { 2 } }=-\frac { 2 } { 5\sqrt[] { 2 } } $.