Xét mệnh đề: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2 - a > 0$" với $a$ là một số thực cho trước. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $a$ để mệnh đề đang xét là mệnh đề đúng?

Mệnh đề "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2 - a > 0$" đúng khi và chỉ khi bất phương trình luôn nghiệm đúng với mọi số thực $x$. Ta biến đổi bất phương trình như sau: $ x^2 + 2 - a > 0 \Leftrightarrow x^2 + 2 > a $. Vì $ x^2 \ge 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $, suy ra $ x^2 + 2 \ge 2 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $. Do đó, giá trị nhỏ nhất của vế trái biểu thức là 2. Để bất đẳng thức $ x^2 + 2 > a $ luôn đúng với mọi $ x \in \mathbb{R} $ thì hằng số $ a $ phải nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ x^2 + 2 $. Từ đó ta có điều kiện: $ a < 2 $. Mà đề bài yêu cầu $ a $ phải là số nguyên dương ($ a \in \mathbb{Z}^+ $), do đó ta chỉ chọn được một giá trị duy nhất là $ a = 1 $. Vậy có tất cả 1 giá trị nguyên dương của tham số $ a $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.