Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh phụ thuộc vào $x$ ($x > 0$) như sau: $AB = \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$, $BC = \sqrt{x + \frac{1}{x}}$, $CA = \sqrt{1 + x}$. Gọi $S(x)$ là diện tích tam giác $ABC$. Hỏi $\lim_{x \to \infty} \frac{S(x)}{\sqrt{x}} = ?$

Lời giải Đặt $\widehat{BAC} = \theta$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$. Ta có: $$ \cos\theta = \frac{1 + \frac{1}{x} + 1 + x - x - \frac{1}{x}}{2\sqrt{x + \frac{1}{x} + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x + \frac{1}{x} + 2}} $$ mà: $$ \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^{2}\theta} = \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x + 1} $$ Khi đó: $$ S(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x + \frac{1}{x} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x + 1} $$ Vậy: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{S(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{1}{2}\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x + 1} \right] = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} $$