Giải phương trình $4x^2 + \sqrt{2x+3} = 8x+1$ ta được 2 nghiệm có dạng $\frac{a+\sqrt{b}}{4}$ và $\frac{c-\sqrt{d}}{4}$. Tính giá trị biểu thức $T = ab + cd$.

Điều kiện xác định: $2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{3}{2}$. Phương trình đã cho được biến đổi bằng cách thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức: $4x^2 - 6x - (2x + 3) + \sqrt{2x+3} + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left(4x^2 - 6x + \frac{9}{4}\right) - \left(2x + 3 - \sqrt{2x+3} + \frac{1}{4}\right) = 0$ $\Leftrightarrow \left(2x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\sqrt{2x+3} - \frac{1}{2}\right)^2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \frac{3}{2} = \sqrt{2x+3} - \frac{1}{2} \\\\ 2x - \frac{3}{2} = -\left(\sqrt{2x+3} - \frac{1}{2}\right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt{2x+3} = 2x - 1 \quad (1) \\\\ \sqrt{2x+3} = 2 - 2x \quad (2) \end{array} \right.$ - Giải phương trình (1): $\sqrt{2x+3} = 2x - 1 \Leftrightarrow \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\\\ 2x + 3 = (2x - 1)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\\\ 2x + 3 = 4x^2 - 4x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\\\ 4x^2 - 6x - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\\\ 2x^2 - 3x - 1 = 0 \end{cases}$ Phương trình $2x^2 - 3x - 1 = 0$ có $\Delta = 9 + 8 = 17$, nghiệm $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$. Kết hợp điều kiện $x \ge \frac{1}{2}$, ta nhận $x = \frac{3+\sqrt{17}}{4}$. - Giải phương trình (2): $\sqrt{2x+3} = 2 - 2x \Leftrightarrow \begin{cases} 2 - 2x \ge 0 \\\\ 2x + 3 = (2-2x)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \le 1 \\\\ 4x^2 - 10x + 1 = 0 \end{cases}$ Phương trình $4x^2 - 10x + 1 = 0$ có $\Delta = 100 - 16 = 84$, nghiệm $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{4}$. Kết hợp điều kiện $x \le 1$, ta nhận $x = \frac{5-\sqrt{21}}{4}$. Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \frac{3+\sqrt{17}}{4}$ và $x = \frac{5-\sqrt{21}}{4}$, tức $a=3, b=17, c=5, d=21$. $T = ab + cd = 3.17 + 5.21 = 156$.