Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 6
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a) $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_5=51 \\ u_2+u_6=102 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3=135 \\ u_4+u_5+u_6=40 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l} u_2=6 \\ S_3=43 \end{array} \right.$
a) $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_5=51 \\ u_2+u_6=102 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3=135 \\ u_4+u_5+u_6=40 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l} u_2=6 \\ S_3=43 \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
a). $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_5=51 \\ u_2+u_6=102 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1\left(1+q^4\right)=51\quad (*) \\ u_1q\left(1+q^4\right)=102\quad (**) \end{array} \right.$
Lấy $\frac{(**)}{(*)}\Leftrightarrow \frac{u_1q\left(1+q^4\right)}{u_1\left(1+q^4\right)}=\frac{102}{51}\Leftrightarrow q=2\Rightarrow u_1=\frac{51}{1+q^4}=\frac{51}{17}=3$.
Kết luận có công bội $q=2$ và số hạng đầu tiên $u_1=3$.
Kết luận: $u_1=3$ và $q=2$
b) $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3=135 \\ u_4+u_5+u_6=40 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+u_1q+u_1q^2=135 \\ u_1q^3+u_1q^4+u_1q^5=40 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1\left(1+q+q^2\right)=135\quad (*) \\ u_1q^3\left(1+q+q^2\right)=40\quad (**) \end{array} \right.$
Lấy $\frac{(**)}{(*)}\Leftrightarrow \frac{u_1q^3\left(1+q+q^2\right)}{u_1\left(1+q+q^2\right)}=\frac{40}{135}\Leftrightarrow q^3=\frac{8}{27}\Leftrightarrow q=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow u_1=\frac{135}{1+q+q^2}=\frac{1215}{19}$.
Kết luận có công bội $q=\frac{2}{3}$ và số hạng đầu tiên $u_1=\frac{1215}{19}$.
c) $\left\{ \begin{array}{l} u_2=6 \\ S_3=43 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1q=6\quad (*) \\ u_1\left(1+q+q^2\right)=43\quad (**) \end{array} \right.$. Lấy $\frac{(*)}{(**)}\Leftrightarrow \frac{u_1q}{u_1\left(1+q+q^2\right)}=\frac{6}{43}$
$\Leftrightarrow 43q=6\left(1+q+q^2\right)\Leftrightarrow 6q^2-37q+6=0\Leftrightarrow q=6\vee q=\frac{1}{6}$
Với $q=6\Rightarrow u_1=1$. Với $q=\frac{1}{6}\Rightarrow u_1=36$.
Kết luận $\left\{ \begin{array}{l} q=6 \\ u_1=1 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} q=\frac{1}{6} \\ u_1=36 \end{array} \right.$
Lấy $\frac{(**)}{(*)}\Leftrightarrow \frac{u_1q\left(1+q^4\right)}{u_1\left(1+q^4\right)}=\frac{102}{51}\Leftrightarrow q=2\Rightarrow u_1=\frac{51}{1+q^4}=\frac{51}{17}=3$.
Kết luận có công bội $q=2$ và số hạng đầu tiên $u_1=3$.
Kết luận: $u_1=3$ và $q=2$
b) $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3=135 \\ u_4+u_5+u_6=40 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+u_1q+u_1q^2=135 \\ u_1q^3+u_1q^4+u_1q^5=40 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1\left(1+q+q^2\right)=135\quad (*) \\ u_1q^3\left(1+q+q^2\right)=40\quad (**) \end{array} \right.$
Lấy $\frac{(**)}{(*)}\Leftrightarrow \frac{u_1q^3\left(1+q+q^2\right)}{u_1\left(1+q+q^2\right)}=\frac{40}{135}\Leftrightarrow q^3=\frac{8}{27}\Leftrightarrow q=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow u_1=\frac{135}{1+q+q^2}=\frac{1215}{19}$.
Kết luận có công bội $q=\frac{2}{3}$ và số hạng đầu tiên $u_1=\frac{1215}{19}$.
c) $\left\{ \begin{array}{l} u_2=6 \\ S_3=43 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1q=6\quad (*) \\ u_1\left(1+q+q^2\right)=43\quad (**) \end{array} \right.$. Lấy $\frac{(*)}{(**)}\Leftrightarrow \frac{u_1q}{u_1\left(1+q+q^2\right)}=\frac{6}{43}$
$\Leftrightarrow 43q=6\left(1+q+q^2\right)\Leftrightarrow 6q^2-37q+6=0\Leftrightarrow q=6\vee q=\frac{1}{6}$
Với $q=6\Rightarrow u_1=1$. Với $q=\frac{1}{6}\Rightarrow u_1=36$.
Kết luận $\left\{ \begin{array}{l} q=6 \\ u_1=1 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} q=\frac{1}{6} \\ u_1=36 \end{array} \right.$