Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật $ ABCD.A'B'C'D' $ có đáy là hình vuông (như hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho $ A'\left ( { 0;0;0 } \right ) $, $ A\left ( { 0;0;1 } \right ),B\left ( { 0;0,5;1 } \right ) $. Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là 60 cm để lắp ráp thành khối chóp nói trên. Khi đó, tọa độ điểm $ S $ là $ \left ( { a;b;c } \right ) $. Tính giá trị của $ a+b+c. $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Đổi $ 60{ \rm{ } }cm=0,6\,\,(m) $ Ta có $ SA=0,6\,\,(m) $ $ A'\left ( { 0;0;0 } \right ) $, $ A\left ( { 0;0;1 } \right ),B\left ( { 0;0,5;1 } \right )⇒ AB=\frac { 1 } { 2 } $, $ AA'=1 $. Gọi $ I=AC∩BD $, $ I'=A'C'∩B'D' $ Vì $ S.ABCD $ là khối chóp tứ giác đều nên $ ABCD $ là hình vuông và $ SI⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Vì $ ABCD.A'B'C'D' $ là hình hộp chữ nhật nên $ \left ( { ABCD } \right )\|\|\left ( { A'B'C'D' } \right ),II'⊥\left ( { A'B'C'D' } \right ) $. Do đó $ SI⊥\left ( { A'B'C'D' } \right ) $. Suy ra $ S,I,I' $ thẳng hàng. Vì vậy $ SI'⊥\left ( { A'B'C'D' } \right ) $. Xét tam giác vuông $ ABC $ có $ AC=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } ⇒AI=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 } $. Xét tam giác vuông $ SIA $có $ SI=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -AI ^ { 2 } }=\sqrt[] { 0,6 ^ { 2 } -\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 94 } } { 20 } $. Gọi $ I' $ là trung điểm của $ A'C'⇒II'=AA'=1⇒SI'=II'+SI=1+\frac { \sqrt[] { 94 } } { 20 }=\frac { 20+\sqrt[] { 94 } } { 20 } $. Ta có $ AA'B'B $ là hình chữ nhật và$ A'\left ( { 0;0;0 } \right ) $, $ A\left ( { 0;0;1 } \right ),B\left ( { 0;0,5;1 } \right )⇒ $$ B'\left ( { 0;0,5;0 } \right )\in Oy $ Mà $ A'\left ( { 0;0;0 } \right )≡O, $$ A\left ( { 0;0;1 } \right )\in Oz⇒D'\in Ox $. Vì $ ABCD $ là hình vuông nên $ A'B'C'D' $ là hình vuông cạnh $ \frac { 1 } { 2 }⇒A'D'=\frac { 1 } { 2 }⇒D'\left ( { 0,5;0;0 } \right ) $ $ ⇒I'\left ( { 0,25;0,25;0 } \right ) $. Vì $ I'\left ( { 0,25;0,25;0 } \right ) $ là hình chiếu của S trên mặt phẳng $ Oxy $ và $ SI'=\frac { 20+\sqrt[] { 94 } } { 20 } $$ ⇒S\left ( { 0,25;0,25;\frac { 20+\sqrt[] { 94 } } { 20 } } \right )⇒a+b+c=0,25+0,25+\frac { 20+\sqrt[] { 94 } } { 20 }≈1,98 $.