(HSG Hải Phòng 2025) Mạng lưới giao thông trong một thành phố được bố trí dạng lưới hình chữ nhật kích thước $ 10×12 $ như hình vẽ dưới đây. Lần đầu đến thành phố, anh Nam muốn đi từ điểm $ A $ đến điểm $ B $. Biết rằng tại các điểm giao nhau, anh Nam luôn chọn ngẫu nhiên một trong các hướng đi để quãng đường đi từ $ A $ đến $ B $ là ngắn nhất. Xác suất để anh Nam không đi qua điểm giao ở vị trí $ C $ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Để đi từ $ A $ đến $ B $, anh Nam cần đi $ 10 $ bước xuống dưới và $ 12 $ bước sang phải (không có lựa chọn nào khác). Do đó tổng số bước là $ 10+12=22 $. Số các chọn $ 12 $ bước sang phải trong $ 22 $ bước (hoặc chọn $ 10 $ bước xuống dưới) chính là số các chọn đường đi ngắn nhất từ $ A $ đến $ B $ và bằng: $ C_{ 22 } ^{ 12 } $. Số các chọn đường đi ngắn nhất từ $ A $ đến $ C $ là: $ C_{ 10 } ^{ 7 } $. Số cách chọn đường đi ngắn nhất từ $ C $ đến $ B $ là: $ C_{ 12 } ^{ 5 } $. Suy ra số cách chọn đường đi ngắn nhất từ $ A $ đến $ B $ phải đi qua $ C $ là $ C_{ 10 } ^{ 7 }×C_{ 12 } ^{ 5 } $. Vậy Xác suất để anh Nam không đi qua điểm giao ở vị trí $ C $ là $ 1-\frac { C_{ 10 } ^{ 7 }×C_{ 12 } ^{ 5 } } { C_{ 22 } ^{ 12 } }≈0,85 $.