(THPT Triệu Sơn 4 - Thanh Hóa 2025) Một đoàn tàu gồm $ 3 $ toa đỗ ở sân ga. Có $ 5 $ hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên $ 1 $ toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất $ 1 $ hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Không gian mẫu là số cách sắp xếp $ 5 $ hành khách lên $ 3 $ toa tàu. Vì mỗi hành khách có $ 3 $ cách chọn toa nên có $ 3 ^ { 5 } $ cách xếp. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $ n\left ( { Ω } \right )=3 ^ { 5 }=243 $. Gọi $ A $ là biến cố “5 hành khách bước lên tàu mà mỗi toa có ít nhất 1 hành khách”. Để tìm số phần tử của biến cố $ A $, ta xét biến cố đối $ \overline{A} $, tức có toa không có hành khách nào bước lên tàu. ● Trường hợp thứ nhất: Có $ 2 $ toa không có hành khách bước lên. +) Chọn $ 2 $ trong $ 3 $ toa để không có khách bước lên, có $ C_{ 3 }^{ 2 } $ cách. +) Sau đó cả $ 5 $ hành khách lên toa còn lại, có $ 1 $ cách. Do đó trường hợp này có $ C_{ 3 }^{ 2 }⋅1=3 $ cách. ● Trường hợp thứ hai: Có đúng $ 1 $ toa không có hành khách bước lên. +) Chọn $ 1 $ trong $ 3 $ toa để không có khách bước lên, có $ C_{ 3 }^{ 1 } $ cách. +) Hai toa còn lại nhận đủ hành khách và mỗi toa có ít nhất $ 1 $ hành khách, có $ 2 ^ { 5 }-2=30 $ cách. Do đó trường hợp này có $ C_{ 3 }^{ 1 }⋅30=90 $ cách. Suy ra $ n\left ( { \overline{A} } \right )=3+90=93 $. Suy ra $ n(A)=243-93=150 $. Vậy xác suất cần tính $ P\left ( { A } \right )=\frac { n\left ( { A } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { 150 } { 243 }=\frac { 50 } { 81 }≈0,62 $.