Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(1; -2)$ và đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình $5x - 3y + 1 = 0$. Đường cao $AH$, $K$ là một điểm nằm trên đoạn thẳng $AH$ sao cho $\overrightarrow{AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AH}$

Đường thẳng $ BC $ có một vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 5;-3 } \right ) $ nên sẽ có vectơ chỉ phương $ u_{ BC } =\left ( { 3\,;\,5 } \right ) $ Đường cao $ AH $ đi qua điểm $ A\left ( { 1\,;\,-2 } \right ) $ và vuông góc với đường thẳng $ BC $ nên có vectơ pháp tuyến là $ n_{ AH } =u_{ BC } =\left ( { 3\,;\,5 } \right ) $ Do đó phương trình đường cao $ AH $ là: $ 3\left ( { x-1 } \right )+5\left ( { y+2 } \right )=0⇔3x+5y+7=0 $ Vì $ \left\{H\right\}=AH∩BC $suy ra tọa độ của $ H $ là nghiệm của hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 3x+5y+7=0 \\ 5x-3y+1=0 \\ \end{array} \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 3x+5y=-7 \\ 5x-3y=-1 \\ \end{array} \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-\frac { 13 } { 17 } \\ y=-\frac { 16 } { 17 } \\ \end{array} \end{array} \right. $. Suy ra $ H\left ( { -\frac { 13 } { 17 };\,-\frac { 16 } { 17 } } \right ) $ Giả sử $ K\left ( { x;\,y } \right ) $ nên $ \overset\rightarrow { AK }=\left ( { x-1;\,y+2 } \right ) $, $ \overset\rightarrow { AH }=\left ( { -\frac { 30 } { 17 };\,\frac { 18 } { 17 } } \right ) $$ ⇒\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AH }=\left ( { -\frac { 45 } { 34 };\,\frac { 27 } { 34 } } \right ) $ Giả thiết $ \overset\rightarrow { AK }=\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AH } $ suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x-1=-\frac { 45 } { 34 } \\ y+2=\frac { 27 } { 34 } \\ \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-\frac { 11 } { 34 } \\ y=-\frac { 41 } { 34 } \\ \end{array} \end{array} \right. $. Vậy $ K\left ( { -\frac { 11 } { 34 };\,-\frac { 41 } { 34 } } \right ) $ Như vậy ta kết luận a) Đúng: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ BC $ là $ u_{ BC } =\left ( { 3\,;\,5 } \right ) $ b) Đúng: Đường cao $ AH $ có phương trình là $ 3x+5y+7=0 $ c) Sai: Hoành độ của điểm $ H $ là một số âm d) Đúng.