Xác định giá trị của $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{ax^{2} + (2a + 1)x} & \text{khi } x \neq 0 \\ 3 & \text{khi } x = 0 \end{cases}$ liên tục tại $x = 0$ (kết quả chính xác đến hàng phần chục).

Lời giải Ta có: $$ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{ax^{2} + (2a + 1)x} $$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{x(ax + 2a + 1)(\sqrt{4x + 1} + 1)} $$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{4}{(ax + 2a + 1)(\sqrt{4x + 1} + 1)} = \frac{4}{(2a + 1) \cdot 2} = \frac{2}{2a + 1} $$ Mặt khác, giá trị của hàm số là $f(0) = 3$. Để hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \Leftrightarrow \frac{2}{2a + 1} = 3 \Leftrightarrow 6a + 3 = 2 \Leftrightarrow a = -\frac{1}{6} \approx -0,2 $$ Vậy $a \approx -0,2$.