Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \frac { x ^ { 3 } -x } { x-1 } \quad \text{khi } x>1 \\ 2x+a ^ { 2 } -1 \quad \text{khi } x≤1 \end{array} \right. $. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

a) Đúng. $ f\left ( { 1 } \right )=a ^ { 2 } +1 $ b) Sai. Xét $ \lim\limits_{ x→1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→1 ^ { + } } \frac { x ^ { 3 } -x } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 ^ { + } } \frac { x\left ( { x-1 } \right )\left ( { x+1 } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 ^ { + } } x\left ( { x+1 } \right )=2 $ c) Sai. Với $ a=0 $ thì $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \frac { x ^ { 3 } -x } { x-1 } \quad \text{khi } x>1 \\ 2x-1 \quad \text{khi } x≤1 \end{array} \right. $ $ \lim\limits_{ x→1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→1 ^ { - } } \left ( { 2x-1 } \right )=1≠\lim\limits_{ x→1 ^ { + } } f\left ( { x } \right ) $ Do đó hàm số gián đoạn tại $ x=1 $. d) Đúng. Xét $ \lim\limits_{ x→1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→1 ^ { - } } \left ( { 2x+a ^ { 2 } -1 } \right )=a ^ { 2 } +1 $ Hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục tại $ x=1 $ khi và chỉ khi $ \lim\limits_{ x→1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )⇔2=a ^ { 2 } +1⇔a ^ { 2 } =1⇔a=±1 $. Vì $ a $ là giá trị dương nên $ a=1 $. Khi đó phương trình $ \sin x=1 $ có nghiệm dương nhỏ nhất là $ x=\frac { π } { 2 } $ (vì $ \sin\frac { π } { 2 } =1 $).