Trắc nghiệm · Câu 52
Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $ a $, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $ 60 ^ { 0 } . $ Thể tích khối chóp đó là:
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ \frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 12 } $
Lời giải
Do đáy là tam giác đều nên gọi $ I $ là trung điểm cạnh $ BC $, khi đó $ AI $ là đường cao của tam giác đáy. Theo định lý Pitago ta có $ AI=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $, và $ AO=\frac { 2 } { 3 }AI=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3.2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Gọi $ O $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Suy ra: $ SO $ là chiều cao của khối tứ diện đều.
$ \left ( { SA,(ABC) } \right )=(SA;OA)= \widehat { SAO }=60 ^ { ^ { 0 } } $.
Trong tam giác $ SOA $ vuông tại $ O $ ta có $ SO=AO.\tan60 ^ { 0 } =\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 }.\sqrt[] { 3 }=a $.
Vậy thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }a.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.a=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 12 } $.