Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AD=2BC=a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAD)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{72}$ Lời giải: Lời giải Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Vì tam giác $SAB$ đều nên $SM \perp AB$. Vì $(SAB) \perp (ABCD)$, $(SAB) \cap (ABCD) = AB$ và $SM \perp AB$, suy ra $SM \perp (ABCD)$. Đặt $AB = x > 0$. Khi đó $SM = \frac{x\sqrt{3}}{2}$. Ta có $AD \perp AB$ và $AD \perp SM$ (do $SM \perp (ABCD)$), suy ra $AD \perp (SAB)$. Do đó $AD \perp BN$ với $BN \subset (SAB)$. Vì $BN \perp AD$ và $BN \perp SA$ (nếu chọn $N$ là chân đường cao từ $B$ xuống $SA$), ta có $BN \perp (SAD)$. Khoảng cách từ $B$ đến $(SAD)$ là đoạn $BN = \frac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (SM/AB)^2}}$ hoặc tính theo hệ thức lượng. Theo bài ra: $$ d(B, (SAD)) = \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow x = \frac{a}{3} $$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $$ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SM = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a + a/2)}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{(a/3)\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{72} $$

Cùng dạng: Thể tích hình chóp V = 1/3 · S đáy · h