Cho lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $có đáy là tam giác đều cạnh $ 5\sqrt[] { 6 }cm $. Tam giác $ AB'C $ có diện tích bằng $ 75cm ^ { 2 } $. Tính thể tích khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $.

+ Gọi $ H $là trung điểm $ AC $ khi đó ta có $ BH⊥AC,B'H⊥AC $ hay góc $ \widehat { B'HB } $ là góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { AB'C } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $. + Khi đó ta có $ S_{ ΔABC } =S_{ ΔAB'C } .\cos \widehat { B'HB }⇒\frac { \left ( { 5\sqrt[] { 6 } } \right ) ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=75.\cos \widehat { B'HB }⇒\cos \widehat { B'HB }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }⇒ \widehat { B'HB }=30 ^ { 0 } $. + Do đó ta có $ \tan \widehat { B'HB }=\tan30 ^ { 0 } =\frac { BB' } { BH }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }⇒BB'=\frac { BH } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 2 } $. + Vậy thể tích lăng trụ là $ V=\frac { \left ( { 5\sqrt[] { 6 } } \right ) ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }.\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 2 }=\frac { 1125\sqrt[] { 2 } } { 4 }≈398\left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $.