Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ có đáy $ ABC $ là tam giác cân tại $ B, \widehat { ABC }=120°, $ $ AB=2. $ Mặt bên $ (ACC'A') $ tạo với đáy góc $ 60°, $ hình chiếu của $ A' $ lên mặt đáy là điểm $ H $ sao cho $ \widehat { HAB }= \widehat { HCB }=90°. $ Tính thể tích khối lăng tru $ ABC.A'B'C'. $

Gọi các điểm như hình vẽ. Ta có: $ \widehat { HAB }= \widehat { HCB }=90° $ suy ra tư giác $ ABCH $ nội tiếp đường tròn đường kính $ BH. $ Từ đó ta có $ MH=\frac { 3 } { 4 }BH=\frac { 3 } { 4 }.\frac { AB } { \cos \widehat { ABH } }=\frac { 3 } { 4 }.\frac { 2 } { \cos60° }=3 $ $ \left \{ \begin{array}{l} (ACC'B')∩(ABC)=AC \\ AC⊥MH \\ AC⊥A'H \end{array} \right.⇒ \widehat { ((ACC'A'),(ABC)) }= \widehat { A'MH }=60°. $ $ A'H=MHtan \widehat { A'MH }=3.\tan60°=3\sqrt[] { 3 } $ Vậy $ V=S_{ ΔABC } .A'H=\frac { 1 } { 2 }.AB.BC.\sin \widehat { ABC }.A'H=\frac { 1 } { 2 }2.2.\sin120°.3\sqrt[] { 3 }=9. $