Trắc nghiệm · Câu 54
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ độ dài cạnh đáy là 5. Biết rằng mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và vuông góc với $SC$, cắt cạnh $SB$ tại $B'$ với $\frac{SB'}{SB}=\frac{2}{3}$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$\frac{125\sqrt{6}}{6}$
Lời giải
Lời giải
Trong tam giác $SAC$, dựng $AC' \perp SC$. Suy ra $AC' \in (P)$.
Gọi $O = AC \cap BD$. Theo tính chất hình chóp tứ giác đều, ta có $SO \perp (ABCD)$.
Ta có $BD \perp AC$ và $BD \perp SO$, suy ra $BD \perp (SAC)$, do đó $BD \perp SC$.
Mà $(P) \perp SC$, nên $(P) // BD$.
Trong $(SAC)$, gọi $G = AC' \cap SO$. Suy ra $GB' // BD \Rightarrow \frac{SG}{SO} = \frac{SB'}{SB} = \frac{2}{3}$.
Suy ra $G$ là trọng tâm $\triangle SAC$, nên $C'$ là trung điểm $SC$.
Do $\triangle SAC$ là tam giác đều cạnh $AC = 5\sqrt{2}$ (do $ABCD$ là hình vuông cạnh 5), ta có:
$$
SO = \sqrt{SC^2 - OC^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 - (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{5\sqrt{6}}{2}
$$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$$
V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 5^2 \cdot \frac{5\sqrt{6}}{2} = \frac{125\sqrt{6}}{6}
$$