Ông $A$ dự định sử dụng hết $6,7$ m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Lời giải Gọi chiều rộng là $x$, chiều dài là $2x$, chiều cao là $z$ ($x, z > 0$). Diện tích kính là: $$ S = x(2x) + 2(xz) + 2(2xz) = 2x^2 + 6xz = 6,7 $$ Thể tích bể cá: $$ V = x(2x)z = 2x^2z $$ Từ $2x^2 + 6xz = 6,7 \Rightarrow z = \frac{6,7 - 2x^2}{6x}$. Thay vào $V$: $$ V(x) = 2x^2 \cdot \frac{6,7 - 2x^2}{6x} = \frac{x(6,7 - 2x^2)}{3} = \frac{6,7x - 2x^3}{3} $$ Để $V$ lớn nhất, $V'(x) = 0$: $$ V'(x) = \frac{6,7 - 6x^2}{3} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{6,7}{6} \Rightarrow x \approx 1,057 $$ Khi đó $V_{\max} \approx \frac{6,7(1,057) - 2(1,057)^3}{3} \approx 1,57 \text{ m}^3$.