Cho một tấm nhôm hình chữ nhật $ ABCD $ có $ BC=90cm $. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh $ MN,PQ $ vào phía trong đến khi $ AB $ và$ CD $ trùng nhau như hình vẽ sau đây để được một lăng trụ đứng khuyết hai đáy. Giá trị của $ x $ để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

Giả thiết suy ra: $ 2x+NP=90cm,0 < x < 45 $. Gọi $ p $ là nửa chu vi $ \vartriangle ANP $, khi đó: $ p=45cm,\,2x+NP=2p⇔NP=2p-2x\,\left ( { cm } \right ) $ Khi ghép lại thành hình lăng trụ đứng, thể tích lăng trụ: $ V_{ Lt } =S_{ \vartriangle ANP } ⋅h=S_{ \vartriangle ANP } ⋅AB $ Vì $ AB $ cố định nên thể tích lăng trụ lớn nhất khi $ S_{ \vartriangle ANP } $lớn nhất.$ S_{ \vartriangle ANP } =\sqrt[] { p\left ( { p-x } \right ) ^ { 2 } \left ( { p-NP } \right ) }=\sqrt[] { p⋅\left ( { p-x } \right ) ^ { 2 } ⋅\left ( { 2x-p } \right ) } $ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:$ S_{ \vartriangle ANP } \leq \sqrt[] { p⋅\left ( { \frac { p-x+p-x+2x-p } { 3 } } \right ) ^ { 3 } }⇔S_{ \vartriangle ANP } \leq \frac { \sqrt[] { 3 }⋅p ^ { 2 } } { 9 } $ Vậy $ \max\left ( { S_{ \vartriangle ANP } } \right )=\frac { \sqrt[] { 3 }⋅p ^ { 2 } } { 9 } $, dấu bằng xảy ra khi $ p-x=2x-p⇔x=\frac { 2p } { 3 }=\frac { 90 } { 3 }=30 $