Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước (không nắp) bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài $ d $ (m) và chiều rộng $ r $ (m) với $ d=2r $. Chiều cao bể nước là $ h $ (m) và thể tích bể là 2 (m3). Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu thì chi phí xây dựng là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Để chi phí thấp nhất thì diện tích toàn phần $ S_{ { \rm{ tp } } } $ phải nhỏ nhất. Ta có $ S_{ { \rm{ tp } } } =d.r+2r.h+2d.h=2r ^ { 2 } +2rh+4rh=2r ^ { 2 } +6rh $. Mặt khác, bể có thể tích $ V=2 $ nên $ d.r.h=2⇔2r ^ { 2 } .h=2⇔h=\frac { 1 } { r ^ { 2 } } $. $ ⇒S_{ { \rm{ tp } } } =2r ^ { 2 } +6r⋅\frac { 1 } { r ^ { 2 } }=2r ^ { 2 } +\frac { 6 } { r }=2r ^ { 2 } +\frac { 3 } { r }+\frac { 3 } { r } $. Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương: $ 2r ^ { 2 } $, $ \frac { 3 } { r } $, $ \frac { 3 } { r } $, ta được: $ S_{ { \rm{ tp } } } \geq 3\sqrt[3] { 2r ^ { 2 } ⋅\frac { 3 } { r }⋅\frac { 3 } { r } }=3\sqrt[3] { 18 } $. Đẳng thức xảy ra $ ⇔2r ^ { 2 } =\frac { 3 } { r }⇔r ^ { 3 } =\frac { 3 } { 2 }⇔r=\sqrt[3] { \frac { 3 } { 2 } }⇔h=\frac { 1 } { r ^ { 2 } }=\sqrt[3] { \frac { 4 } { 9 } } $. $ ⇒S_{ { \rm{ tp } } } $ đạt GTNN bằng $ 3\sqrt[3] { 18 } $ khi $ h=\sqrt[3] { \frac { 4 } { 9 } } $. Vậy để chi phí xây dựng thấp nhất thì chiều cao $ h=\sqrt[3] { \frac { 4 } { 9 } } $.