Trắc nghiệm · Câu 51
Tính thể tích khối tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng $ a $.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
$ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 12 }a ^ { 3 } $
Lời giải
Do đáy là tam giác đều nên gọi $ I $ là trung điểm cạnh $ BC $, khi đó $ AI $ là đường cao của tam giác đáy. Theo định lý Pitago ta có $ AI=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $, và $ AO=\frac { 2 } { 3 }AI=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3.2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Gọi $ O $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Suy ra: $ SO $ là chiều cao của khối tứ diện đều.
Trong tam giác $ SOA $ vuông tại $ O $ ta có $ SO=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 3 } }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $ .
Vậy thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }a.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 12 } $.