Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang với $ AD{ \rm{ // } }BC $. Gọi $ G $là trọng tâm của tam giác $ SAD $; $ E $ là điểm thuộc đoạn $ AC $ sao cho $ EC=xEA,\,\left ( { x>0 } \right ) $. Tìm $ x $ để $ GE{ \rm{ // } }\left ( { SBC } \right ) $.

Gọi $ I $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Trong mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ giả sử $ IE $ và $ BC $ cắt nhau tại điểm $ Q $. Dễ thấy $ SQ=\left ( { IGE } \right )∩\left ( { SBC } \right ) $. Do đó: $ GE{ \rm{ // } }\left ( { SBC } \right ) $ $ ⇔GE{ \rm{ // } }SQ $ $ ⇔\frac { IE } { IQ }=\frac { IG } { IS } $ $ ⇒\frac { IE } { IQ }=\frac { 1 } { 3 } $ (1). Mặt khác tam giác $ EIA $ đồng dạng với tam giác $ EQC $ nên $ \frac { EI } { EQ }=\frac { EA } { EC }=\frac { EA } { xEA }=\frac { 1 } { x } $ suy ra $ EQ=x.EI $. $ ⇒\frac { IE } { IQ }=\frac { IE } { IE+EQ }=\frac { IE } { IE+x.IE }=\frac { 1 } { 1+x } $ (2). Từ (1) và (2) $ ⇒\frac { 1 } { 1+x }=\frac { 1 } { 3 } $ $ ⇔x=2 $.