Từ độ cao $ 55,8{ \rm{ m } } $ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $ \frac { 1 } { 10 } $ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất?

Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $ \frac { 1 } { 10 } $ độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến: + Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là $ d_{ 1 } =55,8{ \rm{ } }\left ( { m } \right ) $. + Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là $ d_{ 2 } =55,8+2.\frac { 55,8 } { 10 }{ \rm{ } }\left ( { m } \right ) $. + Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là $ d_{ 3 } =55,8+2.\frac { 55,8 } { 10 }+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 2 } }{ \rm{ } }\left ( { m } \right ) $. + Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là $ d_{ 4 } =55,8+2.\frac { 55,8 } { 10 }+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 2 } }+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 3 } }{ \rm{ } }\left ( { m } \right ) $. ……………………………………. + Thời điểm chạm đất lần thứ $ n,\ \left ( { n>1 } \right ) $ là $ d_{ n } =55,8+2.\frac { 55,8 } { 10 }+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 2 } }+...+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { n-1 } }{ \rm{ } }\left ( { m } \right ) $. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là $ d=55,8+2.\frac { 55,8 } { 10 }+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 2 } }+...+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { n-1 } }+...\left ( { m } \right ) $. Vì $ 2.\frac { 55,8 } { 10 } $, $ 2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 2 } } $, $ 2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 3 } } $, …, $ 2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { n-1 } } $,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, với số hạng đầu $ 2.\frac { 55,8 } { 10 } $, công bội $ q=\frac { 1 } { 10 } $, nên ta có $ 2.\frac { 55,8 } { 10 }+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 2 } }+...+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { n-1 } }+...=\frac { 2.\frac { 55,8 } { 10 } } { 1-\frac { 1 } { 10 } }=12,4 $. Vậy $ d=55,8+2.\frac { 55,8 } { 10 }+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { 2 } }+...+2.\frac { 55,8 } { 10 ^ { n-1 } }+...=55,8+12,4=68,2{ \rm{ } }\left ( { m } \right ) $. CÁCH KHÁC Quả bóng rơi xuống lần đầu $ u_{ 1 } =55,8 $ (tính 1 lần), sau đó nảy lên và rơi xuống (2 lượt 1 hành trình) theo độ cao lúc sau là CSN với công bội $ q=\frac { 1 } { 10 } $. Tổng hành trình của quả bóng là tổng của CSN lùi vô hạn với lần đầu chỉ có 1 lượt. $ S=2.\frac { u_{ 1 } } { 1-q }-u_{ 1 } =2.\frac { 55,8 } { 1-\frac { 1 } { 10 } }-55,8=\frac { 341 } { 5 }=68,2\,m $.