Bạn Nam thả một quả bóng cao su từ độ cao $15\text{ m}$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng bốn phần năm độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển được (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải Ta có quãng đường bóng di chuyển được bằng tổng quãng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống. Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng $\frac{4}{5}$ lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là: $$ S_1 = 15 \cdot \frac{4}{5} + 15 \cdot \Big(\frac{4}{5}\Big)^2 + 15 \cdot \Big(\frac{4}{5}\Big)^3 + ... + 15 \cdot \Big(\frac{4}{5}\Big)^n + ... $$ Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1 = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$ và công bội $q = \frac{4}{5}$. Suy ra $S_1 = \frac{12}{1 - \frac{4}{5}} = 60$. Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên nên là: $$ S_2 = 15 + 15 \cdot \Big(\frac{4}{5}\Big) + 15 \cdot \Big(\frac{4}{5}\Big)^2 + ... + 15 \cdot \Big(\frac{4}{5}\Big)^n + ... $$ Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1 = 15$ và công bội $q = \frac{4}{5}$. Suy ra $S_2 = \frac{15}{1 - \frac{4}{5}} = 75$. Vậy tổng quãng đường bóng bay là $S = S_1 + S_2 = 135\text{ m}$.