Bạn Trang thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao $8\text{ m}$ so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không nảy lên nữa bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải Lần đầu rơi xuống, quãng đường quả bóng đã bay đến lúc chạm đất là $S_1 = 8\text{ m}$. Kể từ lúc chạm đất lần thứ 1 đến khi chạm đất lần thứ 2, quãng đường mà bóng di chuyển là: $2 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4}$ Kể từ lúc chạm đất lần thứ 2 đến khi chạm đất lần thứ 3, quãng đường mà bóng di chuyển là: $2 \cdot 8 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^2$ ... Kể từ lúc chạm đất lần thứ $n$ đến khi chạm đất lần thứ $(n+1)$, quãng đường mà bóng di chuyển là: $2 \cdot 8 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^n$. Sau $(n+1)$ lần chạm đất, vật dừng lại. Tổng quãng đường theo yêu cầu đề bài: $S = S_1 + S_2$ Với: $$ S_2 = 2 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4} + 2 \cdot 8 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^2 + ... + 2 \cdot 8 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^n + ... $$ Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1 = 2 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4} = 12$ và công bội $q = \frac{3}{4}$. Sử dụng công thức, ta tính được: $$ S_2 = u_1 \cdot \frac{1}{1 - q} = 2 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = 48 $$ Vậy $S = S_1 + S_2 = 8 + 48 = 56\text{ m}$.