Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_1 = \frac{1}{2}$ và $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + (n + 2)u_n}$. Khi đó $\lim_{n \to +\infty} (u_1 + u_2 + ... + u_n)$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải Đặt $v_1 = \frac{1}{u_1} = 2$ và $v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1 + (n + 2)u_n}{u_n} = \frac{1}{u_n} + (n + 2)$. Khi đó ta có: $$ \begin{cases} v_1 = 2 \\ v_2 = v_1 + 3 \\ v_3 = v_2 + 4 ... \\ v_n = v_{n-1} + (n + 1) \end{cases} $$ Cộng vế theo vế các biểu thức trên ta được: $$ v_1 + v_2 + v_3 + ... + v_n = 2 + (v_1 + 3) + (v_2 + 4) + ... + (v_{n-1} + n + 1) $$ $$ \Leftrightarrow v_n = 2 + 3 + 4 + ... + (n + 1) = \frac{n[2 + (n + 1)]}{2} = \frac{n(n + 3)}{2} $$ Suy ra dãy số $(v_n)$ có số hạng tổng quát là $v_n = \frac{n(n + 3)}{2} \Rightarrow u_n = \frac{2}{n(n + 3)}$. Ta có: $$ u_1 + u_2 + ... + u_n = \frac{2}{1 \cdot 4} + \frac{2}{2 \cdot 5} + ... + \frac{2}{n(n + 3)} = 2 \left[ \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} \right] $$ $$ = 2 \left[ \frac{1}{3}\Big(1 - \frac{1}{4}\Big) + \frac{1}{3}\Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\Big) + ... + \frac{1}{3}\Big(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}\Big) \right] $$ $$ = \frac{2}{3} \cdot \left[ \Big(1 - \frac{1}{4}\Big) + \Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\Big) + \Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\Big) + ... + \Big(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}\Big) \right] $$ $$ = \frac{2}{3} \cdot \left[ \Big(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\Big) - \Big(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}\Big) \right] $$ Vậy $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_1 + u_2 + ... + u_n) = \frac{2}{3}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{9} \approx 1,22$.