Tại một nhà máy, người ta đo được rằng $ 80\% $ lượng nước sau khi qua sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với $ 100{ \rm{ m } } ^ { 3 } $ ban đầu được sử dụng tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Gọi $ u_{ n } $ là lượng nước nhà máy sử dụng lần thứ $ n $. Khi đó lượng nước nhà máy sử dụng lần lượt là $ u_{ 1 } =100 $, $ u_{ 2 } =100.0,8 $, $ u_{ 3 } =100.\left ( { 0,8 } \right ) ^ { 2 } $ … Đặt $ S $ là tổng lượng nước nhà máy sử dụng, ta có $ S=u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } +... \\ =100+100.0,8+100.\left ( { 0,8 } \right ) ^ { 2 } +... $ Như vậy tổng lượng nước nhà máy sử dụng là một cấp số nhân lùi vô hạn với $ u_{ 1 } =100 $ và $ q=0,8 $. Suy ra, $ S=\frac { 100 } { 1-0,8 }=500{ \rm{ } }\left ( { { \rm{ m } } ^ { 3 } } \right ) $. Vậy, với $ 100{ \rm{ m } } ^ { 3 } $ ban đầu được sử dụng tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là $ 500{ \rm{ m } } ^ { 3 } $.