Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc $100\text{ mg}$. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $5\%$. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc đó trong một thời gian dài (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải Gọi $u_n$ là lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân ở ngày thứ $n$ dùng thuốc. Ta có: $$ u_1 = 100 $$ $$ u_2 = 5\% \cdot u_1 + 100 = \frac{1}{20} u_1 + 100 $$ $$ u_3 = \frac{1}{20} u_2 + 100 $$ Tổng quát ta có $u_n = \frac{1}{20} u_{n-1} + 100$. Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài, lượng thuốc trong cơ thể được ước lượng bởi $a = \lim_{n \to +\infty} u_n$. Khi đó ta có: $$ a = \frac{1}{20}a + 100 \Leftrightarrow a \approx 105\text{ mg} $$