Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Ta có: $$ \lim \frac{9^{n} - 3 \cdot 4^{n}}{6 \cdot 7^{n} + 8^{n}} = \lim \frac{9^{n} \left[1 - 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{n}\right]}{8^{n} \left[6 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{n} + 1\right]} = \lim \left(\frac{9}{8}\right)^{n} \cdot \frac{1 - 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{n}}{6 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{n} + 1} = +\infty $$ (vì $\lim \left(\frac{9}{8}\right)^{n} = +\infty$ và $\lim \frac{1 - 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{n}}{6 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{n} + 1} = 1 > 0$). b) Ta có $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{n}} + \cdots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ với $u_{1} = \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$. Do đó: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{n}} + \cdots = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 $$ Vì vậy $A = 5 + 1 = 6$. c) Ta có $S_{n} = 1 + x^{2} + x^{4} + \cdots + x^{2n}$ là tổng của $n+1$ số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 1$ và công bội $q = x^{2}$ ($x \neq \pm 1$ nên $q \neq 1$). Do đó: $$ S_{n} = \frac{u_{1}\left(1 - q^{n+1}\right)}{1 - q} = \frac{1 - x^{2n+2}}{1 - x^{2}} $$ d) Ta có hình vuông ngoài cùng có cạnh là $a$ nên diện tích $S_{1} = a^{2}$. Hình vuông thứ hai có cạnh là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên có diện tích $S_{2} = \frac{a^{2}}{2}$. Cứ tiếp tục như vậy, hình vuông thứ ba có diện tích $S_{3} = \frac{a^{2}}{4}$, hình vuông thứ tư có diện tích $S_{4} = \frac{a^{2}}{8}$, ... Vì thế dãy số $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn $(S_{n})$ với $S_{1} = a^{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$, nên tổng diện tích tất cả các hình vuông là: $$ S = S_{1} + S_{2} + \dots = \frac{a^{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 2a^{2} $$ Vậy $S = 2a^{2} \neq \frac{5}{4}a^{2}$.