Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính $R = 2\text{ cm}$ như Hình a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính $\frac{R}{2}$ chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính $\frac{R}{4}$ rồi chồng lên các hình trước như Hình c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Lời giải Gọi $u_1$ là diện tích của hình tròn thứ nhất, ta có $u_1 = \pi R^2$. Gọi $u_2$ là tổng diện tích của $2^1$ hình tròn cắt lần thứ hai, ta có $u_2 = 2\pi \cdot \Big(\frac{R}{2}\Big)^2 = \pi R^2 \cdot \frac{1}{2}$. Gọi $u_3$ là tổng diện tích của $2^2$ hình tròn cắt lần thứ ba, ta có $u_3 = 4\pi \cdot \Big(\frac{R}{4}\Big)^2 = \pi R^2 \cdot \frac{1}{2^2}$. ... Gọi $u_n$ là tổng diện tích của $2^{n-1}$ hình tròn cắt lần thứ $n$, ta có $u_n = 2^{n-1} \pi \cdot \Big(\frac{R}{2^{n-1}}\Big)^2 = \pi R^2 \cdot \frac{1}{2^{n-1}}$. Dãy $u_1, u_2, u_3, ..., u_n, ...$ là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1 = \pi R^2$ và công bội $q = \frac{1}{2}$. Vậy tổng diện tích của các hình tròn là: $$ S = \pi R^2 + \pi R^2 \cdot \frac{1}{2} + \pi R^2 \cdot \frac{1}{2^2} + ... = \frac{\pi R^2}{1 - \frac{1}{2}} = 2\pi R^2 = 2\pi \cdot 2^2 \approx 25,1\text{ cm}^2 $$