Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ xác định trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0 \end{array} \right \} $ thỏa mãn $ f'\left ( { x } \right )=\frac { x+1 } { x ^ { 2 } } $, $ f\left ( { -2 } \right )=\frac { 3 } { 2 } $ và $ f\left ( { 2 } \right )=2\ln2-\frac { 3 } { 2 } $. Giá trị của biểu thức $ f\left ( { -1 } \right )+f\left ( { 4 } \right ) $ bằng (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười).

Có $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int { \frac { x+1 } { x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\ln x-\frac { 1 } { x }+C } } $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \ln\left | { x } \right |-\frac { 1 } { x }+C_{ 1 } \ \ \ \ \ \ { \rm{ khi } }\ x < 0 \\ \ \ln\left | { x } \right |-\frac { 1 } { x }+C_{ 2 } \ \ \ \ \ { \rm{ khi } }\ x>0\ \end{array} \right. $ Do $ f\left ( { -2 } \right )=\frac { 3 } { 2 } \Rightarrow \ln2+\frac { 1 } { 2 }+C_{ 1 } =\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow C_{ 1 } =1-\ln2 $ Do $ f\left ( { 2 } \right )=2\ln2-\frac { 3 } { 2 } \Rightarrow \ln2-\frac { 1 } { 2 }+C_{ 2 } =2\ln2-\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow C_{ 2 } =\ln2-1 $ Như vậy, $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \ln\left | { x } \right |-\frac { 1 } { x }+1-\ln2\ \ \ \ \ \ \ \ { \rm{ khi } }\ x < 0 \\ \ \ln\left | { x } \right |-\frac { 1 } { x }+\ln2-1\ \ \ \ \ \ \ { \rm{ khi } }\ x>0\ \end{array} \right. $ Vậy $ f\left ( { -1 } \right )+f\left ( { 4 } \right )=\left ( { 2-\ln2 } \right )+\left ( { \ln4-\frac { 1 } { 4 }+\ln2-1 } \right )=\frac { 8\ln2+3 } { 4 }\approx 2,1 $.