Một chiếc xe đua chuyển động trong 2 phút đầu tiên với vận được mô phỏng bởi hàm số $ v(t)=5\sqrt[] { t+1 }-5 $ ($ m/s $), trong đó $ t $ (giây) tính từ lúc ban đầu. Động lượng của nó đo bằng kg.m/s và được biểu thị bởi hàm số $ P=1600v(t) $. Hỏi tại thời điểm giây thứ bao nhiêu thì động lượng của ô tô tăng với tốc độ $ 800 kg⋅ m/s ^ { 2 } $.

Ta có $ P(t)=1600v(t),v(t)=5\sqrt[] { t+1 }-5 $ Thay $ v(t)=5\sqrt[] { t+1 }-5 $ vào phương trình $ P(t) $ ta được $ P(t)=1600(5\sqrt[] { t+1 }-5) $ $ P(t)=1600(5\sqrt[] { t+1 }-5)=8000\sqrt[] { t+1 }-8000 $ Tốc độ tăng động lượng là đạo hàm của $ P(t) $ theo $ t $ $ P ^ { ′ } (t)=(8000\sqrt[] { t+1 }-8000) ^ { ′ } =8000⋅\frac { 1 } { 2\sqrt[] { t+1 } }=\frac { 4000 } { \sqrt[] { t+1 } } $ Theo giả thiết: "Tốc độ tăng động lượng bằng $ 800 kg⋅ m/s ^ { 2 } $" Suy ra $ P ^ { ′ } (t)=800⇔\frac { 4000 } { \sqrt[] { t+1 } }=800⇔\sqrt[] { t+1 }=\frac { 4000 } { 800 }=5⇔t+1=5 ^ { 2 } $ $ ⇔t=25-1=24 $ (giây) Thời gian $ t $ tính bằng giây và xe chuyển động trong 2 phút đầu tiên, tức là 120 giây, nên $ 0≤t≤120 $. Nên giá trị $ t=24 $ thỏa mãn điều kiện. Vậy tại thời điểm $ t=24 $ giây thì động lượng của ô tô tăng với tốc độ $ 800 kg⋅ m/s ^ { 2 } $.