Cho 2 vectơ vectơ $ \overset\rightarrow { a },\,\,\overset\rightarrow { b } $ biết $ \|\overset\rightarrow { a }\|=1,\,\,\|\overset\rightarrow { b }\|=2 $ và $ \|2\overset\rightarrow { a }+\overset\rightarrow { b }\|=2. $ Tính giá trị cos của góc giữa 2 vectơ $ \overset\rightarrow { a }+2\overset\rightarrow { b } $ và $ \overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b } $.

Ta có: $ •\|2\overset\rightarrow { a }+\overset\rightarrow { b }\|=2⇔4\overset\rightarrow { a } ^ { 2 } +4\overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }+\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } =4⇒\overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }=-1. $ $ •\left ( { \overset\rightarrow { a }+2\overset\rightarrow { b } } \right ).\left ( { \overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b } } \right )=\overset\rightarrow { a } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }-2\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } =-4. $ $ •\left ( { \overset\rightarrow { a }+2\overset\rightarrow { b } } \right ) ^ { 2 } =\overset\rightarrow { a } ^ { 2 } +4\overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }+4\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } =5⇒\|\overset\rightarrow { a }+2\overset\rightarrow { b }\|=\sqrt[] { 5 }. $ $ •\left ( { \overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b } } \right ) ^ { 2 } =\overset\rightarrow { a } ^ { 2 } -2\overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }+\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } =5⇒\|\overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b }\|=\sqrt[] { 5 }. $ Vậy: $ cos\left ( { \overset\rightarrow { a }+2\overset\rightarrow { b },\overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b } } \right )=\frac { \left ( { \overset\rightarrow { a }+2\overset\rightarrow { b } } \right ).\left ( { \overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b } } \right ) } { \left | { \overset\rightarrow { a }+2\overset\rightarrow { b } } \right |\left | { \overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b } } \right | }=\frac { -4 } { \sqrt[] { 5 }.\sqrt[] { 5 } }=\frac { -4 } { 5 }=-0,8. $