Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = 1$ và hai vectơ $u = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ và $v = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Ta có $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \Rightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \Leftrightarrow \left(\frac{2}{5}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5}\overrightarrow{a}^2 - \frac{13}{5}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{b}^2 = 0$. Mà $\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = 1 \Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$. Suy ra $\cos\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right|} = -1 \Rightarrow \left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = 180^\circ$.