Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy, $ cho đường tròn $ \left ( { C } \right ):\,\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } =10 $ và hai điểm $ A\left ( { 1;\,3 } \right ) $, $ B\left ( { 3;\,1 } \right ) $. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Lời giải a) Đúng vì tâm của đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ là $ I\left ( { -1;\,\,2 } \right ) $. b) Sai vì $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 2;-2 } \right ) $. Suy ra, $ AB=\sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 2 } $. Bán kính của đường tròn đường kính $ AB $ là $ R=\frac { AB } { 2 }=\sqrt[] { 2 } $. c) Sai vì khoảng cách từ tâm $ I $ đến đường thẳng $ Δ $ là $ d\left ( { I,Δ } \right )=\frac { \left | { 3.\left ( { -1 } \right )-2-6 } \right | } { \sqrt[] { 3 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 11 } { \sqrt{10} } $. Ta thấy $ d\left ( { I,Δ } \right ) e\sqrt[] { 10 } $. d) Đúng vì tâm $ I $ nằm trên đường thẳng $ d $ nên tọa độ tâm $ I\left ( { t;2t+7 } \right ) $. Ta có $ \overset\rightarrow { AI }=\left ( { t-1;2t+4 } \right )⇒AI=\sqrt[] { \left ( { t-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2t+4 } \right ) ^ { 2 } } $. $ \overset\rightarrow { BI }=\left ( { t-3;2t+6 } \right )⇒BI=\sqrt[] { \left ( { t-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2t+6 } \right ) ^ { 2 } } $. Ta có $ AI=BI⇔\sqrt[] { \left ( { t-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2t+4 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { t-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2t+6 } \right ) ^ { 2 } } $. Giải phương trình ta có $ t=-7. $ Suy ra, tọa độ tâm đường tròn $ I\left ( { -7;-7 } \right ) $. Bán kính đường tròn $ R=AI=2\sqrt[] { 41 } $. Phương trình đường tròn là $ \left ( { x+7 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+7 } \right ) ^ { 2 } =164 $.