Biết rằng tồn tại $ a∈\mathbb{Z} $ để hàm số $ y=\frac { 1 } { x-4 } $ nghịch biến trên khoảng $ \left ( { a;+∞ } \right ) $. Gọi $ a_{ 0 } $ là giá trị nhỏ nhất của $ a $. Tính $ a_{ 0 } ^{ 2 }+2024 $.

Hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x-4 } $ xác định khi $ x-4≠0 $ tức là $ x≠4 $ nên $ D=\mathbb{R}\backslash\left\{4\right\} $. Lấy $ x_{ 1 } ,\,x_{ 2 } $ là hai số tùy ý cùng thuộc mỗi khoảng $ \left ( { -∞;\,4 } \right ),\,\left ( { 4;\,+∞ } \right ) $ sao cho $ x_{ 1 } < x_{ 2 } $ ta có $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right )=\frac { 1 } { x_{ 1 } -4 }-\frac { 1 } { x_{ 2 } -4 }=\frac { x_{ 2 } -x_{ 1 } } { \left ( { x_{ 1 } -4 } \right )\left ( { x_{ 2 } -4 } \right ) } $ Do $ x_{ 1 } < x_{ 2 } $ nên $ x_{ 2 } -x_{ 1 } >0 $. Mặt khác, khi lấy $ x_{ 1 } $ và $ x_{ 2 } $ cùng nhỏ hơn 4 hoặc cùng lớn hơn 4 , ta đều có $ x_{ 1 } -4 $ và $ x_{ 2 } -4 $ luôn cùng dấu nên $ \left ( { x_{ 1 } -4 } \right )\left ( { x_{ 2 } -4 } \right )>0 $ hay $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right )>0⇒f\left ( { x_{ 1 } } \right )>f\left ( { x_{ 2 } } \right ) $. Ta kết luận hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-∞;4) $ và $ (4;+∞) $. Vậy $ a_{ 0 } =4 $ và $ a_{ 0 } ^{ 2 }+2024=16+2024=2040 $.