Một hộp phấn không bụi có dạng hình hộp chữ nhật, chiều cao hộp phấn bằng $ 8,2 cm $ và đáy của nó có hai kích thước là $ 8,5 cm;10,5 cm $ (xem hình vẽ sau). Tìm góc phẳng nhị diện $ \left[ A,B ^ { ′ } D ^ { ′ } ,A ^ { ′ } \right] $ (tính theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Phần giải chi tiết Trong mặt phẳng $ \left ( { A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } } \right ) $, kẻ $ A ^ { ′ } H⊥B ^ { ′ } D ^ { ′ } $ tại $ H $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} B'D'⊥A'H \\ B'D'⊥AA'\left ( { { \rm{ do } }AA'⊥\left ( { A'B'C'D' } \right ) } \right ) \\ \end{array} ⇒B'D'⊥\left ( { AA'H } \right )⇒B'D'⊥AH \end{array} \right. $. Do đó $ \widehat { AHA ^ { ′ } } $ là góc phẳng nhị diện $ \left[ A,B ^ { ′ } D ^ { ′ } ,A ^ { ′ } \right] $. Tam giác $ A ^ { ′ } B ^ { ′ } D ^ { ′ } $ vuông tại $ A ^ { ′ } $ có đường cao $ A ^ { ′ } H $ nên $ \frac { 1 } { A ^ { ′ } H ^ { 2 } }=\frac { 1 } { A ^ { ′ } B ^ { ′2 } }+\frac { 1 } { A ^ { ′ } D ^ { ′2 } }⇒A ^ { ′ } H=\frac { A ^ { ′ } B ^ { ′ } ⋅A ^ { ′ } D ^ { ′ } } { \sqrt[] { A ^ { ′ } B ^ { ′2 } +A ^ { ′ } D ^ { ′2 } } }=\frac { 357 } { 2\sqrt[] { 730 } }{ \rm{ . } } $ Tam giác $ AHA ^ { ′ } $ vuông tại $ A ^ { ′ } $ có: $ \tan \widehat { AHA ^ { ′ } }=\frac { AA ^ { ′ } } { A ^ { ′ } H }=\frac { 8,2 } { \frac { 357 } { 2\sqrt[] { 730 } } }⇒ \widehat { AHA ^ { ′ } }≈51,1 ^ { ° } $