Kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao $ 98 m $ và cạnh đáy $ 180 m $. Biết tang của số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp đó bằng $ \frac { m } { n } $, biết $ \frac { m } { n } $tối giản và $ m,n∈\mathbb{N} $, tính giá trị biểu thức $ m-n $.

Xét hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có chiều cao $ 98 m $ và cạnh đáy $ 180 m $. Gọi $ O $ là tâm hình vuông $ ABCD $ thì $ SO⊥(ABCD)⇒SO⊥AB $. (1) Gọi $ M $ là trung điểm $ AB $ thì $ OM $ là đường trung bình của tam giác $ ABC $, suy ra $ OM=\frac { BC } { 2 }=90( m) $ và $ OM⊥AB $. (2) Từ (1) và (2) suy ra $ \widehat { SMO } $ là góc phẳng nhị diện $ [(SAB),AB,(ABCD)] $ với $ \tan \widehat { SMO }=\frac { SO } { OM }=\frac { 98 } { 90 }=\frac { 49 } { 45 }⇒m=49;n=45⇒m-n=4 $.