Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $ P\left ( { t } \right )=\frac { a } { b+{ \rm{ e } } ^ { -0,75t } } $, trong đó thời gian $ t $ được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu $ t=0 $, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Theo mô hình này số lượng nấm men không vượt quá bao nhiêu con?

Ta có: $ P'\left ( { t } \right )=\frac { 0,75a{ \rm{ e } } ^ { -0,75t } } { \left ( { b+{ \rm{ e } } ^ { -0,75t } } \right ) ^ { 2 } }\,,\,\,t\geq 0 $. Theo đề bài, ta có: $ P\left ( { 0 } \right )=20 $ và $ P'\left ( { 0 } \right )=12 $. Do đó, ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac { a } { b+1 }=20 \\ \frac { 0,75a } { \left ( { b+1 } \right ) ^ { 2 } }=12 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=20\left ( { b+1 } \right ) \\ \frac { 15 } { b+1 }=12 \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $. Giải hệ phương trình này, ta được $ a=25 $ và $ b=\frac { 1 } { 4 } $. Khi đó, $ P'\left ( { t } \right )=\frac { 18,75{ \rm{ e } } ^ { -0,75t } } { \left ( { \frac { 1 } { 4 }+{ \rm{ e } } ^ { -0,75t } } \right ) ^ { 2 } }>0\,,\,\,∀t\geq 0 $, tức là số lượng nấm men luôn tăng. Tuy nhiên, do $ \lim\limits_{ t\to +\infty } P\left ( { t } \right )=\lim\limits_{ t\to +\infty } \frac { 25 } { \frac { 1 } { 4 }+{ \rm{ e } } ^ { -0.75t } }=100 $ nên số lượng nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.