Cho hàm số $ y=f(x)=\frac { 2x ^ { 2 } -3x } { x-5 } $. Khi đó:

Lời giải - Nhận xét: Hàm số đã cho có dạng là hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất nên đồ thị của hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận, đó là tiệm cận xiên $ y=2x+7 $ và tiệm cận đứng $ x=5 $. Suy ra a) Sai. - Ta có:$ f ^ { ′ } (x)=\frac { (4x-3)(x-5)-\left ( { 2x ^ { 2 } -3x } \right ) } { (x-5) ^ { 2 } }=\frac { 2x ^ { 2 } -20x+15 } { (x-5) ^ { 2 } } $ và $ f ^ { ′ } (x)=0⇔x_{ 1 } =5-\sqrt[] { \frac { 35 } { 2 } };x_{ 2 } =5+\sqrt[] { \frac { 35 } { 2 } } $. Lập bảng biến thiên của hàm số: Từ bảng biến thiên, ta suy ra hàm số $ y=f(x) $ có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Suy ra b) Đúng. - Từ bảng biến thiên của hàm số $ y=f(x) $, ta suy ra có đúng hai giá trị của $ m $ để phương trình $ f(x)=m $ có duy nhất nghiệm (đó là $ m=f\left ( { x_{ 1 } } \right ) $ và $ m=f\left ( { x_{ 2 } } \right ) $). Suy ra c) Sai. - Ta có: $ g(x)=\frac { 1 } { f(x) }=\frac { x-5 } { 2x ^ { 2 } -3x } $. Do vậy, $ \lim\limits_{ x\to 0 ^ { + } } g(x)=+\infty $ và $ \lim\limits_{ x\to \frac { 3 } { 2 } ^ { + } } g(x)=-\infty $. Như vậy đồ thị hàm số $ y=g(x) $ nhận các đường thẳng $ x=0 $ và $ x=\frac { 3 } { 2 } $ làm tiệm cận đứng. Suy ra d) Đúng.