Trắc nghiệm · Câu 42
Cho hình lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $ có góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60 ^ { \circ } $, cạnh $ AB=a $. Tính thể tích $ V $ của khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ V=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 8 }a ^ { 3 } $
Lời giải
Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $ suy ra $ AM⊥BC\, $ $ \left ( { 1 } \right ) $
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AM \\ BC⊥AA' \end{array} \right.⇒BC⊥A'M \left ( { 2 } \right ) $
Mặt khác $ \left ( { ABC } \right )∩\left ( { A'BC } \right )=BC\, \left ( { 3 } \right ) $
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $, $ \left ( { 3 } \right ) $ suy ra $ \left ( { \widehat { \left ( { ABC } \right ),\left ( { A'BC } \right ) } } \right )= \widehat { A'MA }=60 ^ { \circ } $.
Vì tam giác $ ABC $ đều nên $ S_{ ΔABC } =\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $ và $ AM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Ta có $ AA'=AM.\tan60 ^ { \circ } =\frac { 3a } { 2 } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =AA'.S_{ ΔABC } =\frac { 3a } { 2 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { 3a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 8 } $.