Trắc nghiệm · Câu 43
Cho khối hộp chữ nhật $ ABCD.A'B'C'D' $ có đáy là hình vuông $ BD=4a $, góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { A'BD } \right ) $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 60 ^ { \circ } $. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$ V=16\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } $
Lời giải
Gọi $ I $ là trung điểm của $ BD $ suy ra $ AI⊥BD\, $ $ \left ( { 1 } \right ) $
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥AI \\ BD⊥AA' \end{array} \right.⇒BD⊥A'I \left ( { 2 } \right ) $
Mặt khác $ \left ( { ABCD } \right )∩\left ( { A'BD } \right )=BD\, \left ( { 3 } \right ) $
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $, $ \left ( { 3 } \right ) $ suy ra $ \left ( { \widehat { \left ( { ABCD } \right ),\,\left ( { A'BD } \right ) } } \right )= \widehat { A'IA }=60 ^ { \circ } $.
Ta có đáy $ ABCD $ là hình vuông có $ BD=4a $ suy ra $ AB=2\sqrt[] { 2 }a,BI=AI=2a $.
Tam giác $ A'AI $ vuông tại $ A $ có: $ \tan60 ^ { \circ } =\frac { A'A } { AI } $ suy ra $ A'A=2\sqrt[] { 3 }a $.
Diện tích đáy $ S_{ ABCD } =AB ^ { 2 } =\left ( { 2\sqrt[] { 2 }a } \right ) ^ { 2 } =8a ^ { 2 } $.
Vậy thể tích khối hộp là $ V=S_{ ABCD } .A'A=8a ^ { 2 } .2\sqrt[] { 3 }a=16\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } $.