Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ ABCD $ tâm $ O' $ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $ IA,IB,IC,ID $ gắn cố định tại điểm $ I\left ( { 0;0;9 } \right ) $ như hình vẽ. Biết điểm $ O'\left ( { 0;0;5 } \right ),A\left ( { -\sqrt[] { 2 };\sqrt[] { 2 };5 } \right ) $, điểm $ D\left ( { a;b;c } \right ) $ với $ a>0,c>5 $ và góc $ \widehat { O'ID } $ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $ \overset\rightarrow { F }_{ 1 } ,\overset\rightarrow { F_{ 2 } },\overset\rightarrow { F_{ 3 } },\overset\rightarrow { F_{ 4 } } $ lần lượt là lực căng của dây $ IB,IC,ID,IA $, biết $ \left | { \overset\rightarrow { F_{ 1 } } } \right |=50N $ và $ \left | { \overset\rightarrow { F_{ 2 } } } \right |=40N $. Tính khối lượng $ m\left ( { { \rm{ kg } } } \right ) $ của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) ( cho gia tốc trọng trường $ g=9,8m/s ^ { 2 } $) và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $ P=mg $).

Ta có $ O'A=2,AC=4,AB=2\sqrt[] { 2 } $, $ O'D=2 $, $ O'I=4,IA=2\sqrt[] { 5 } $. Vì $ O' $ là trung điểm $ AC⇒C\left ( { \sqrt[] { 2 };-\sqrt[] { 2 };5 } \right )⇒IC=2\sqrt[] { 5 } $. Vì điểm $ O' $ là tâm của hình vuông $ ABCD⇒\overset\rightarrow { O'D }⊥\overset\rightarrow { O'A }⇒\overset\rightarrow { O'D }.\overset\rightarrow { O'A }=0⇔a=b $. Góc $ \widehat { O'ID } $ đạt giá trị lớn nhất $ ⇔\cos \widehat { O'ID } $ nhỏ nhất Áp dụng đinh lý cosin trong tam giác $ O'ID $ ta có $ \cos \widehat { O'ID }=\frac { ID ^ { 2 } +O'I ^ { 2 } -O'D ^ { 2 } } { 2ID.O'I }=\frac { 12+ID ^ { 2 } } { 8ID }=\frac { ID } { 8 }+\frac { 3 } { 2ID }\geq 2\sqrt[] { \frac { 3 } { 16 } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $(bđt Cauchy). $ ⇒ \widehat { O'ID }=30 ^ { 0 } $ và $ ID=2\sqrt[] { 3 } $ Vì $ \left \{ \begin{array}{l} ID=2\sqrt[] { 3 } \\ O'D=2 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +\left ( { c-9 } \right ) ^ { 2 } =12 \\ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +\left ( { c-5 } \right ) ^ { 2 } =4 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { c-9 } \right ) ^ { 2 } -\left ( { c-5 } \right ) ^ { 2 } =8 \\ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +\left ( { c-5 } \right ) ^ { 2 } =4 \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} c=6 \\ a=b=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } \end{array} \right. $ (do $ a>0,c>5 $). Suy ra: $ D\left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };6 } \right )⇒B\left ( { -\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };-\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };4 } \right )⇒ID=2\sqrt[] { 3 },IB=2\sqrt[] { 7 } $ Vì $ IA=IC=2\sqrt[] { 5 }⇒ $ tam giác $ IAC $ cân tại $ I $nên $ \overset\rightarrow { \left | { F_{ 2 } } \right } =\overset\rightarrow { \left | { F_{ 4 } } \right } =40N $. Dựng $ \overset\rightarrow { IA_{ 1 } }=\overset\rightarrow { F_{ 2 } },\overset\rightarrow { IC_{ 1 } }=\overset\rightarrow { F_{ 4 } } $và $ H $ là trung điểm $ A_{ 1 } C_{ 1 } $. Tam giác $ IAO' $ vuông tại $ O'⇒cos \widehat { AIO' }=\frac { IO' } { IA }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 5 } } $ $ ⇒\left | { \overset\rightarrow { F_{ 2 } }+\overset\rightarrow { F_{ 4 } } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { IA_{ 1 } }+\overset\rightarrow { IC_{ 1 } } } \right |=2\left | { \overset\rightarrow { IH } } \right |=2IH=2\left | { \overset\rightarrow { F_{ 2 } } } \right |.cos \widehat { AIO' }=32\sqrt[] { 5 } $. Dựng $ \overset\rightarrow { IB_{ 1 } }=\overset\rightarrow { F_{ 1 } },\overset\rightarrow { ID_{ 1 } }=\overset\rightarrow { F_{ 3 } } $và $ K $ là điểm thứ 4 của hình bình hành $ IB_{ 1 } KD_{ 1 } $. $ ⇒\left | { \overset\rightarrow { F_{ 2 } }+\overset\rightarrow { F_{ 4 } } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { IB_{ 1 } }+\overset\rightarrow { ID_{ 1 } } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { IK } } \right |=IK $. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ IBD $ ta có: $ cos \widehat { B_{ 1 } IK }=cos \widehat { BIO' }=\frac { IB ^ { 2 } +O'I ^ { 2 } -O'B ^ { 2 } } { 2IB.O'I }=\frac { 5\sqrt[] { 7 } } { 14 }⇒ \widehat { B_{ 1 } IK }\simeq 19 ^ { 0 } $. Mặt khác $ \widehat { IKB_{ 1 } }= \widehat { DIO' }=30 ^ { 0 } ⇒ \widehat { IB_{ 1 } K }=131 ^ { 0 } $. Áp dụng định lí sin trong tam giác $ IB_{ 1 } K $ ta có: $ \frac { IK } { sin131 ^ { 0 } }=\frac { IB_{ 1 } } { sin30 ^ { 0 } }⇒IK=\frac { IB_{ 1 } .sin131 ^ { 0 } } { sin30 ^ { 0 } }=\frac { 50.sin131 ^ { 0 } } { sin30 ^ { 0 } }=75,47 $. Khi vật cân bằng $ \overset\rightarrow { F_{ 1 } }+\overset\rightarrow { F_{ 2 } }+\overset\rightarrow { F_{ 3 } }+\overset\rightarrow { F_{ 4 } }=-\overset\rightarrow { P }⇔\left | { \overset\rightarrow { F_{ 1 } }+\overset\rightarrow { F_{ 2 } }+\overset\rightarrow { F_{ 3 } }+\overset\rightarrow { F_{ 4 } } } \right |=mg $. $ ⇔\left | { 2\overset\rightarrow { IH }+\overset\rightarrow { IK } } \right |=mg⇔2\left | { \overset\rightarrow { IH } } \right |+\left | { \overset\rightarrow { IK } } \right |=mg⇔32\sqrt[] { 5 }+75,47=mg⇒m=15kg $.