Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (Đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ dài 1 km, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$). Lúc đó, một chiếc máy bay bắt đầu di chuyển từ điểm $A(700; 850; 100)$ với vận tốc không đổi $150$ (km/h) theo hướng về điểm $B(800; 900; 200)$. Khi tới $B$, máy bay thay đổi hướng bay theo hướng về điểm $C(1100; 1400; 300)$ với vận tốc giữ nguyên là $150$ (km/h). Máy bay di chuyển theo hướng mới trong $30\sqrt{35}$ phút (tức là mới tới điểm $D \in BC$) thì bất ngờ gặp gió lớn khiến hướng bay của nó lệch đi $45^\circ$ theo phương nằm ngang (tức là nếu $\vec{u}$ là vectơ hình chiếu xuống mặt đất của đoạn đường từ điểm $D$ trở đi thì góc lượng giác $(\vec{i}, \vec{u}) = 45^\circ$) và vận tốc giảm còn $120$ (km/h). Máy bay tiếp tục bay theo hướng lệch trong 30 phút.

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) Ta có: $$ AB = \sqrt{100^2 + 50^2 + 100^2} = 150 \text{ km} $$ Thời gian bay từ $A$ đến $B$ là $t_{A \to B} = \frac{150}{150} = 1$ giờ = 60 phút. Thời gian bay từ $B$ đến $D$ là $30\sqrt{35}$ phút; thời gian bay từ $D$ đến $E$ là $30$ phút. Vậy tổng thời gian bay thực tế trong cả hành trình là: $$ \sum t = 60 + 30\sqrt{35} + 30 \approx 267 \text{ phút} $$ b) Ta có vectơ vận tốc trên đoạn $BD$ tỉ lệ với $\overrightarrow{BC} = (300; 500; 100)$: $$ \overrightarrow{v}_{BD} = |\overrightarrow{v}_{BD}| \cdot \frac{\overrightarrow{BC}}{BC} = 150 \cdot \frac{(300; 500; 100)}{\sqrt{300^2 + 500^2 + 100^2}} = \frac{100(3; 5; 1)}{\sqrt{35}} $$ Mặt khác $30\sqrt{35}$ phút $= \frac{\sqrt{35}}{2}$ giờ, suy ra quãng đường vectơ: $$ \overrightarrow{BD} = t_{B \to D} \cdot \overrightarrow{v}_{BD} = \frac{\sqrt{35}}{2} \cdot \frac{150}{\sqrt{35}} \cdot (3; 5; 1) = (225; 375; 75) $$ Khi đó tọa độ điểm $D = B + (225; 375; 75) = (1025; 1275; 275)$. Vậy $z_D = 275$ nên khi bắt đầu gặp gió lớn, máy bay cách mặt đất 275 km. c) Gọi $\beta$ là góc giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(Oxy)$. Ta có $\overrightarrow{n}_{(Oxy)} = (0; 0; 1)$. $$ \sin\beta = \frac{1}{\sqrt{35}} \Rightarrow \cos\beta = \sqrt{\frac{34}{35}} $$ Thành phần vận tốc sau khi lệch hướng: $$ \begin{cases} x_{\overrightarrow{v}'} = 120 \cdot \sqrt{\frac{34}{35}} \cdot \cos 45^\circ \approx 83,63 \\ y_{\overrightarrow{v}'} = 120 \cdot \sqrt{\frac{34}{35}} \cdot \sin 45^\circ \approx 83,63 \\ z_{\overrightarrow{v}'} = 120 \cdot \frac{1}{\sqrt{35}} \approx 20,28 \end{cases} $$ Suy ra $\overrightarrow{DE} = t_{D \to E} \cdot \overrightarrow{v}' = \frac{1}{2}\overrightarrow{v}'$. Tọa độ điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{v}'$. Vậy $a + b + c = (1025 + 0,5 \cdot 83,63) + (1275 + 0,5 \cdot 83,63) + (275 + 0,5 \cdot 20,28) \approx 2669$. d) Tổng quãng đường máy bay di chuyển trong cả hành trình là: $$ S = AB + BD + DE = 150 + 75\sqrt{35} + 120 \cdot \frac{1}{2} \approx 653,7 > 650 \text{ km} $$