Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $ { \rm{ Ox } }yz $, đơn vị đo lấy theo kilomet, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ $ A(0;35;10) $, bay theo hướng vectơ $ \overset\rightarrow { v_{ 1 } }=\left ( { 3;4;0 } \right ) $ với tốc độ không đổi $ 900\,(km/h) $ và máy bay thứ hai ở tọa độ $ B\left ( { 31;10;11 } \right ) $, bay theo hướng vectơ $ \overset\rightarrow { v_{ 2 } }=\left ( { 5;12;0 } \right ) $ với tốc độ không đổi $ 910\,(km/h) $. Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng 9,3 km). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đổi $ 900\,(km/h)\,=15km $/phút $ 910\,km/h\,=\frac { 91 } { 6 } $km/phút Vectơ vận tốc máy bay thứ nhất $ \overset\rightarrow { u_{ 1 } }=m\overset\rightarrow { v_{ 1 } } $ với m >0, $ \left | { \overset\rightarrow { u_{ 1 } } } \right |=m\left | { \overset\rightarrow { v_{ 1 } } } \right |=15⇒m=3⇒\overset\rightarrow { u_{ 1 } }\,=\left ( { 9,12,0 } \right ) $ Vectơ vận tốc máy bay thứ hai $ \overset\rightarrow { u_{ 2 } }=n\overset\rightarrow { v_{ 2 } } $ với n >0, $ \left | { \overset\rightarrow { u_{ 2 } } } \right |=m\left | { \overset\rightarrow { v_{ 2 } } } \right |=\frac { 91 } { 6 }⇒n=\frac { 7 } { 6 }⇒\overset\rightarrow { u_{ 2 } }\,=\left ( { \frac { 35 } { 6 },14,0 } \right ) $ Sau t phút duy trì hướng bay, máy bay thứ nhất bay đến vị trí M thỏa mãn $ \overset\rightarrow { AM }=t\overset\rightarrow { u_{ 1 } }\,=\left ( { 9t;12t;0 } \right ),t>0\,⇒M\left ( { 9t;12t+35;10 } \right ) $ Máy bay thứ hai bay đến vị trí N thỏa mãn $ \overset\rightarrow { BN }=t\overset\rightarrow { u_{ 2 } }\,=\left ( { \frac { 35 } { 6 }t;14t;0 } \right ),t>0\,⇒N\left ( { \frac { 35 } { 6 }t+31;14t+10;11 } \right ) $ Khoảng cách hai máy bay là: $ MN=\sqrt[] { \left ( { \frac { 19 } { 6 }t-31 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 14t+10-12t-35 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 11-10 } \right ) ^ { 2 } } \\ ⇔MN=\sqrt[] { \left ( { \frac { 19 } { 6 }t-31 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2t-25 } \right ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } }\,\leq 9,3⇒8,42\leq t\leq 10,56 \\ ⇒t≈8,42 $