Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;5;0)$, $B(3;3;6)$ và đường thẳng $d: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{2}$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức $a+2b+3c$ bằng

Lời giải Gọi $M( -1+2t; 1-t; 2t ) \in d$. Ta có $MA = \sqrt{9t^{2} + 20}$, $MB = \sqrt{9(t-2)^{2} + 20}$, $AB = 2\sqrt{11}$. Chu vi tam giác $MAB$ là $C_{MAB} = MA + MB + AB$. Suy ra $C_{MAB}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $(MA + MB)$ nhỏ nhất. Đặt $f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9(t-2)^{2} + 20}$. Đạo hàm $f'(t) = \frac{9t}{\sqrt{9t^{2} + 20}} + \frac{9(t-2)}{\sqrt{9(t-2)^{2} + 20}}$. Cho $f'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{9t}{\sqrt{9t^{2} + 20}} = \frac{9(2-t)}{\sqrt{9(2-t)^{2} + 20}}$. Xét hàm $g(x) = \frac{9x}{\sqrt{9x^{2} + 20}}$, ta có $g'(x) = \frac{180}{(9x^{2} + 20)\sqrt{9x^{2} + 20}} > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên phương trình tương đương với $t = 2-t \Leftrightarrow t = 1$. Với $t = 1$, ta có $M(1;0;2)$. Khi đó $a=1, b=0, c=2$. Giá trị của biểu thức $a+2b+3c = 1 + 2(0) + 3(2) = 1 + 0 + 6 = 7$.