Có hai đồng xu có hình thức giống nhau, trong đó có một đồng xu cân đối đồng chất và một đồng xu không cân đối có xác suất khi tung đồng xu xuất hiện mặt ngửa là $ \frac{2}{3} $. Một người lấy ngẫu nhiên một đồng xu trong hai đồng xu đã cho, tung đồng xu đó 3 lần thì đều thấy xuất hiện mặt ngửa, xác suất người đó lấy được đồng xu cân đối là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần mười.)

Lời giải Gọi $A$ là biến cố: “Lấy được đồng xu cân đối” và $\overline{A}$ là biến cố: “Lấy được đồng xu không cân đối”. Gọi $B$ là biến cố: “Tung đồng xu ba lần đều xuất hiện mặt ngửa”. Ta có: $P(A) = P(\overline{A}) = 0,5$. $P(B|A) = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$. $P(B|\overline{A}) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27}$. Áp dụng công thức xác suất toàn phần: $$ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = 0,5 \cdot \frac{1}{8} + 0,5 \cdot \frac{8}{27} = \frac{1}{16} + \frac{4}{27} = \frac{91}{432} $$ Áp dụng công thức Bayes: $$ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{91}{432}} = \frac{27}{91} \approx 0,3 $$