Trong một cuộc diễn tập phòng không, một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ (trong không gian Oxyz với đơn vị trên các hệ trục tính theo ki-lô-mét) có tầm bắn tối đa là 30 km và tên lửa được phóng ra với vận tốc không đổi là 500 m/s. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng có véctơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 3;-4;0 } \right ) $ với vận tốc không đổi là 900 km/h. Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí $ A\left ( { 6;-20;16 } \right ) $ thì tên lửa rời bệ phóng, khai hỏa và đã bắn hạ được mục tiêu. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người lái bị bắn hạ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (Giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều bay theo đường thẳng và không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí).

Đổi 500m/s = 1800 km/h. Cách 1: Phương trình chuyển động của máy bay là $ \left \{ \begin{array}{l} x=6+3t \\ y=-20-4t \\ z=16 \end{array} \right. $ Giả sử máy bay bị bắn hạ tại điểm $ M\left ( { 6+3t;-20-4t;16 } \right ) $ sau a giây di chuyển từ A Quãng đường AM $ =\sqrt[] { \left ( { 3t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -4t } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 25t ^ { 2 } }=v.a=900a $ Quãng đường tên lửa đi OM $ =\sqrt[] { \left ( { 6+3t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -20-4t } \right ) ^ { 2 } +16 ^ { 2 } }=\sqrt[] { 25t ^ { 2 } +196t+692 }=1800a $ Do đó $ OM=2AM⇔\sqrt[] { 25t ^ { 2 } +196t+692 }=2\sqrt[] { 25t ^ { 2 } }⇔75t ^ { 2 } -196t-692=0⇔\left[ \begin{array}{l} t=\frac { 346 } { 75 } \\ t=-2 \end{array} \right. $ Với $ t=\frac { 346 } { 75 }⇒OM=\frac { 692 } { 15 }≈46,1333 $ (loại) Với $ t=-2⇒OM=20 $ (thỏa mãn) Cách 2: Có $ \overset\rightarrow { AO }=\left ( { -6;20;-16 } \right )⇒OA=2\sqrt[] { 173 } $. Giả sử máy bay bị bắn hạ ở vị trí B. Vì thời gian đi của tên lửa bằng thời gian đi của máy bay nên $ t=\frac { OB } { 1800 }=\frac { AB } { 900 }⇔OB=2AB=2x $.Vì tên lửa có tầm bắn tối đa 30km nên $ OB\leq 30⇔2x\leq 30 $. Do đó $ 0\leq x\leq 15 $(km). Có $ \cos\left ( { \overset\rightarrow { u };\overset\rightarrow { AO } } \right )=\frac { -18-80 } { \sqrt[] { 3 ^ { 2 } +\left ( { -4 } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }.\sqrt[] { 6 ^ { 2 } +\left ( { -20 } \right ) ^ { 2 } +16 ^ { 2 } } }=\frac { -98 } { 5.2\sqrt[] { 173 } }=\frac { -49 } { 5\sqrt[] { 173 } } $ Ta có $ \cos \widehat { OAB }=\frac { OA ^ { 2 } +AB ^ { 2 } -OB ^ { 2 } } { 2OA.AB }=\frac { 692+x ^ { 2 } -4x ^ { 2 } } { 2.2\sqrt[] { 173 }.x }=\frac { 692-3x ^ { 2 } } { 4\sqrt[] { 173 }.x } $ Trường hợp 1: Máy bay bay cùng hướng $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 3;-4;0 } \right ) $ và bị bắn hạ ở vị trí $ B_{ 1 } $. Ta có $ \cos \widehat { OAB }=\frac { 692-3x ^ { 2 } } { 4\sqrt[] { 173 }.x }=\frac { -49 } { 5\sqrt[] { 173 } }⇔5\left ( { 692-3x ^ { 2 } } \right )=-4.\left ( { 49 } \right )x⇔x=\frac { 346 } { 15 }≈23,0666 $(loại) Trường hợp 2: Máy bay bay ngược hướng $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 3;-4;0 } \right ) $ và bị bắn hạ ở vị trí $ B_{ 2 } $. Ta có $ \cos \widehat { OAB }=\frac { 692-3x ^ { 2 } } { 4\sqrt[] { 173 }.x }=\frac { 49 } { 5\sqrt[] { 173 } }⇔5\left ( { 692-3x ^ { 2 } } \right )=4.\left ( { 49 } \right )x⇔x=10 $(thỏa mãn) Vậy khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người lái bị bắn hạ bằng 20km.